Distribution tables

Navigation:  Resources >

Distribution tables

Previous pageReturn to chapter overviewNext page

This section contains distribution tables for some of the more widely used probability distributions. The include the cumulative Normal distribution, the Student's t-distribution, the chi-square distribution and the F distribution. Note that distribution tables such as these can be produced directly using Excel or similar software via their various built-in functions. For example, the F distribution tables provided in this topic were generated using the Excel function FINV(0.05,df1,df2).

Normal distribution

The following table provides the cumulative distribution function of the Normal distribution, from 0 to x. To obtain a one-sided value simply add 0.5 to the table entry, or for a two-sided value (the most commonly used case) double the value in the table. The highlighted cells identify the two-sided values for 90% (+/-5%) and 95% (+/2.5%) values.

x

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

         -  

          -  

  0.00399

  0.00798

  0.01197

  0.01595

  0.01994

  0.02392

  0.02790

  0.03188

  0.03586

      0.10

  0.03983

  0.04380

  0.04776

  0.05172

  0.05567

  0.05962

  0.06356

  0.06749

  0.07142

  0.07535

      0.20

  0.07926

  0.08317

  0.08706

  0.09095

  0.09483

  0.09871

  0.10257

  0.10642

  0.11026

  0.11409

      0.30

  0.11791

  0.12172

  0.12552

  0.12930

  0.13307

  0.13683

  0.14058

  0.14431

  0.14803

  0.15173

      0.40

  0.15542

  0.15910

  0.16276

  0.16640

  0.17003

  0.17364

  0.17724

  0.18082

  0.18439

  0.18793

      0.50

  0.19146

  0.19497

  0.19847

  0.20194

  0.20540

  0.20884

  0.21226

  0.21566

  0.21904

  0.22240

      0.60

  0.22575

  0.22907

  0.23237

  0.23565

  0.23891

  0.24215

  0.24537

  0.24857

  0.25175

  0.25490

      0.70

  0.25804

  0.26115

  0.26424

  0.26730

  0.27035

  0.27337

  0.27637

  0.27935

  0.28230

  0.28524

      0.80

  0.28814

  0.29103

  0.29389

  0.29673

  0.29955

  0.30234

  0.30511

  0.30785

  0.31057

  0.31327

      0.90

  0.31594

  0.31859

  0.32121

  0.32381

  0.32639

  0.32894

  0.33147

  0.33398

  0.33646

  0.33891

      1.00

  0.34134

  0.34375

  0.34614

  0.34849

  0.35083

  0.35314

  0.35543

  0.35769

  0.35993

  0.36214

      1.10

  0.36433

  0.36650

  0.36864

  0.37076

  0.37286

  0.37493

  0.37698

  0.37900

  0.38100

  0.38298

      1.20

  0.38493

  0.38686

  0.38877

  0.39065

  0.39251

  0.39435

  0.39617

  0.39796

  0.39973

  0.40147

      1.30

  0.40320

  0.40490

  0.40658

  0.40824

  0.40988

  0.41149

  0.41308

  0.41466

  0.41621

  0.41774

      1.40

  0.41924

  0.42073

  0.42220

  0.42364

  0.42507

  0.42647

  0.42785

  0.42922

  0.43056

  0.43189

      1.50

  0.43319

  0.43448

  0.43574

  0.43699

  0.43822

  0.43943

  0.44062

  0.44179

  0.44295

  0.44408

      1.60

  0.44520

  0.44630

  0.44738

  0.44845

  0.44950

  0.45053

  0.45154

  0.45254

  0.45352

  0.45449

      1.70

  0.45543

  0.45637

  0.45728

  0.45818

  0.45907

  0.45994

  0.46080

  0.46164

  0.46246

  0.46327

      1.80

  0.46407

  0.46485

  0.46562

  0.46638

  0.46712

  0.46784

  0.46856

  0.46926

  0.46995

  0.47062

      1.90

  0.47128

  0.47193

  0.47257

  0.47320

  0.47381

  0.47441

  0.47500

  0.47558

  0.47615

  0.47670

      2.00

  0.47725

  0.47778

  0.47831

  0.47882

  0.47932

  0.47982

  0.48030

  0.48077

  0.48124

  0.48169

      2.10

  0.48214

  0.48257

  0.48300

  0.48341

  0.48382

  0.48422

  0.48461

  0.48500

  0.48537

  0.48574

      2.20

  0.48610

  0.48645

  0.48679

  0.48713

  0.48745

  0.48778

  0.48809

  0.48840

  0.48870

  0.48899

      2.30

  0.48928

  0.48956

  0.48983

  0.49010

  0.49036

  0.49061

  0.49086

  0.49111

  0.49134

  0.49158

      2.40

  0.49180

  0.49202

  0.49224

  0.49245

  0.49266

  0.49286

  0.49305

  0.49324

  0.49343

  0.49361

      2.50

  0.49379

  0.49396

  0.49413

  0.49430

  0.49446

  0.49461

  0.49477

  0.49492

  0.49506

  0.49520

      2.60

  0.49534

  0.49547

  0.49560

  0.49573

  0.49585

  0.49598

  0.49609

  0.49621

  0.49632

  0.49643

      2.70

  0.49653

  0.49664

  0.49674

  0.49683

  0.49693

  0.49702

  0.49711

  0.49720

  0.49728

  0.49736

      2.80

  0.49744

  0.49752

  0.49760

  0.49767

  0.49774

  0.49781

  0.49788

  0.49795

  0.49801

  0.49807

      2.90

  0.49813

  0.49819

  0.49825

  0.49831

  0.49836

  0.49841

  0.49846

  0.49851

  0.49856

  0.49861

      3.00

  0.49865

  0.49869

  0.49874

  0.49878

  0.49882

  0.49886

  0.49889

  0.49893

  0.49896

  0.49900

      3.10

  0.49903

  0.49906

  0.49910

  0.49913

  0.49916

  0.49918

  0.49921

  0.49924

  0.49926

  0.49929

      3.20

  0.49931

  0.49934

  0.49936

  0.49938

  0.49940

  0.49942

  0.49944

  0.49946

  0.49948

  0.49950

      3.30

  0.49952

  0.49953

  0.49955

  0.49957

  0.49958

  0.49960

  0.49961

  0.49962

  0.49964

  0.49965

      3.40

  0.49966

  0.49968

  0.49969

  0.49970

  0.49971

  0.49972

  0.49973

  0.49974

  0.49975

  0.49976

      3.50

  0.49977

  0.49978

  0.49978

  0.49979

  0.49980

  0.49981

  0.49981

  0.49982

  0.49983

  0.49983

      3.60

  0.49984

  0.49985

  0.49985

  0.49986

  0.49986

  0.49987

  0.49987

  0.49988

  0.49988

  0.49989

      3.70

  0.49989

  0.49990

  0.49990

  0.49990

  0.49991

  0.49991

  0.49992

  0.49992

  0.49992

  0.49992

      3.80

  0.49993

  0.49993

  0.49993

  0.49994

  0.49994

  0.49994

  0.49994

  0.49995

  0.49995

  0.49995

      3.90

  0.49995

  0.49995

  0.49996

  0.49996

  0.49996

  0.49996

  0.49996

  0.49996

  0.49997

  0.49997

      4.00

  0.49997

  0.49997

  0.49997

  0.49997

  0.49997

  0.49997

  0.49998

  0.49998

  0.49998

  0.49998

Note that specific critical values may be computed using standard inverse functions, such as NORMINV() in Excel. For the unit Normal the table below provides the x values associated with the critical probability levels indicated (upper tail).

p

x

   0.9999

3.7190165

    0.999

3.0902323

    0.995

2.5689744

    0.990

2.3226121

    0.985

2.1674573

    0.980

2.0516879

    0.975

1.9582558

    0.970

1.879326

    0.965

1.810618

    0.960

1.7495268

    0.955

1.6943437

    0.950

1.6438848

    0.945

1.5972948

    0.940

1.5539347

    0.935

1.5133137

    0.930

1.4750467

    0.925

1.4388254

    0.920

1.4043992

    0.915

1.3715615

    0.910

1.3401395

    0.905

1.3099877

    0.900

1.280982

Student's t distribution

Upper tail critical values for the Student's t-distribution, showing the degrees of freedom (df) and probability levels from 0.1 (10%) to 0.1%. Note that for df>30 the figures are close to those for the Normal distribution, and for the infinity line they match those for the Normal distribution. Only the upper critical values are required as the distribution is symmetric, as per the Normal.

df

0.1

0.05

0.025

0.01

0.005

0.001

1

     3.078

     6.314

   12.706

   31.821

   63.657

318.313

2

     1.886

     2.920

     4.303

     6.965

     9.925

    22.327

3

     1.638

     2.353

     3.182

     4.541

     5.841

    10.215

4

     1.533

     2.132

     2.776

     3.747

     4.604

     7.173

5

     1.476

     2.015

     2.571

     3.365

     4.032

     5.893

6

     1.440

     1.943

     2.447

     3.143

     3.707

     5.208

7

     1.415

     1.895

     2.365

     2.998

     3.499

     4.782

8

     1.397

     1.860

     2.306

     2.896

     3.355

     4.499

9

     1.383

     1.833

     2.262

     2.821

     3.250

     4.296

10

     1.372

     1.812

     2.228

     2.764

     3.169

     4.143

11

     1.363

     1.796

     2.201

     2.718

     3.106

     4.024

12

     1.356

     1.782

     2.179

     2.681

     3.055

     3.929

13

     1.350

     1.771

     2.160

     2.650

     3.012

     3.852

14

     1.345

     1.761

     2.145

     2.624

     2.977

     3.787

15

     1.341

     1.753

     2.131

     2.602

     2.947

     3.733

16

     1.337

     1.746

     2.120

     2.583

     2.921

     3.686

17

     1.333

     1.740

     2.110

     2.567

     2.898

     3.646

18

     1.330

     1.734

     2.101

     2.552

     2.878

     3.610

19

     1.328

     1.729

     2.093

     2.539

     2.861

     3.579

20

     1.325

     1.725

     2.086

     2.528

     2.845

     3.552

21

     1.323

     1.721

     2.080

     2.518

     2.831

     3.527

22

     1.321

     1.717

     2.074

     2.508

     2.819

     3.505

23

     1.319

     1.714

     2.069

     2.500

     2.807

     3.485

24

     1.318

     1.711

     2.064

     2.492

     2.797

     3.467

25

     1.316

     1.708

     2.060

     2.485

     2.787

     3.450

26

     1.315

     1.706

     2.056

     2.479

     2.779

     3.435

27

     1.314

     1.703

     2.052

     2.473

     2.771

     3.421

28

     1.313

     1.701

     2.048

     2.467

     2.763

     3.408

29

     1.311

     1.699

     2.045

     2.462

     2.756

     3.396

30

     1.310

     1.697

     2.042

     2.457

     2.750

     3.385

31

     1.309

     1.696

     2.040

     2.453

     2.744

     3.375

32

     1.309

     1.694

     2.037

     2.449

     2.738

     3.365

33

     1.308

     1.692

     2.035

     2.445

     2.733

     3.356

34

     1.307

     1.691

     2.032

     2.441

     2.728

     3.348

35

     1.306

     1.690

     2.030

     2.438

     2.724

     3.340

36

     1.306

     1.688

     2.028

     2.434

     2.719

     3.333

37

     1.305

     1.687

     2.026

     2.431

     2.715

     3.326

38

     1.304

     1.686

     2.024

     2.429

     2.712

     3.319

39

     1.304

     1.685

     2.023

     2.426

     2.708

     3.313

40

     1.303

     1.684

     2.021

     2.423

     2.704

     3.307

41

     1.303

     1.683

     2.020

     2.421

     2.701

     3.301

42

     1.302

     1.682

     2.018

     2.418

     2.698

     3.296

43

     1.302

     1.681

     2.017

     2.416

     2.695

     3.291

44

     1.301

     1.680

     2.015

     2.414

     2.692

     3.286

45

     1.301

     1.679

     2.014

     2.412

     2.690

     3.281

46

     1.300

     1.679

     2.013

     2.410

     2.687

     3.277

47

     1.300

     1.678

     2.012

     2.408

     2.685

     3.273

48

     1.299

     1.677

     2.011

     2.407

     2.682

     3.269

49

     1.299

     1.677

     2.010

     2.405

     2.680

     3.265

50

     1.299

     1.676

     2.009

     2.403

     2.678

     3.261

51

     1.298

     1.675

     2.008

     2.402

     2.676

     3.258

52

     1.298

     1.675

     2.007

     2.400

     2.674

     3.255

53

     1.298

     1.674

     2.006

     2.399

     2.672

     3.251

54

     1.297

     1.674

     2.005

     2.397

     2.670

     3.248

55

     1.297

     1.673

     2.004

     2.396

     2.668

     3.245

56

     1.297

     1.673

     2.003

     2.395

     2.667

     3.242

57

     1.297

     1.672

     2.002

     2.394

     2.665

     3.239

58

     1.296

     1.672

     2.002

     2.392

     2.663

     3.237

59

     1.296

     1.671

     2.001

     2.391

     2.662

     3.234

60

     1.296

     1.671

     2.000

     2.390

     2.660

     3.232

61

     1.296

     1.670

     2.000

     2.389

     2.659

     3.229

62

     1.295

     1.670

     1.999

     2.388

     2.657

     3.227

63

     1.295

     1.669

     1.998

     2.387

     2.656

     3.225

64

     1.295

     1.669

     1.998

     2.386

     2.655

     3.223

65

     1.295

     1.669

     1.997

     2.385

     2.654

     3.220

66

     1.295

     1.668

     1.997

     2.384

     2.652

     3.218

67

     1.294

     1.668

     1.996

     2.383

     2.651

     3.216

68

     1.294

     1.668

     1.995

     2.382

     2.650

     3.214

69

     1.294

     1.667

     1.995

     2.382

     2.649

     3.213

70

     1.294

     1.667

     1.994

     2.381

     2.648

     3.211

71

     1.294

     1.667

     1.994

     2.380

     2.647

     3.209

72

     1.293

     1.666

     1.993

     2.379

     2.646

     3.207

73

     1.293

     1.666

     1.993

     2.379

     2.645

     3.206

74

     1.293

     1.666

     1.993

     2.378

     2.644

     3.204

75

     1.293

     1.665

     1.992

     2.377

     2.643

     3.202

76

     1.293

     1.665

     1.992

     2.376

     2.642

     3.201

77

     1.293

     1.665

     1.991

     2.376

     2.641

     3.199

78

     1.292

     1.665

     1.991

     2.375

     2.640

     3.198

79

     1.292

     1.664

     1.990

     2.374

     2.640

     3.197

80

     1.292

     1.664

     1.990

     2.374

     2.639

     3.195

81

     1.292

     1.664

     1.990

     2.373

     2.638

     3.194

82

     1.292

     1.664

     1.989

     2.373

     2.637

     3.193

83

     1.292

     1.663

     1.989

     2.372

     2.636

     3.191

84

     1.292

     1.663

     1.989

     2.372

     2.636

     3.190

85

     1.292

     1.663

     1.988

     2.371

     2.635

     3.189

86

     1.291

     1.663

     1.988

     2.370

     2.634

     3.188

87

     1.291

     1.663

     1.988

     2.370

     2.634

     3.187

88

     1.291

     1.662

     1.987

     2.369

     2.633

     3.185

89

     1.291

     1.662

     1.987

     2.369

     2.632

     3.184

90

     1.291

     1.662

     1.987

     2.368

     2.632

     3.183

91

     1.291

     1.662

     1.986

     2.368

     2.631

     3.182

92

     1.291

     1.662

     1.986

     2.368

     2.630

     3.181

93

     1.291

     1.661

     1.986

     2.367

     2.630

     3.180

94

     1.291

     1.661

     1.986

     2.367

     2.629

     3.179

95

     1.291

     1.661

     1.985

     2.366

     2.629

     3.178

96

     1.290

     1.661

     1.985

     2.366

     2.628

     3.177

97

     1.290

     1.661

     1.985

     2.365

     2.627

     3.176

98

     1.290

     1.661

     1.984

     2.365

     2.627

     3.175

99

     1.290

     1.660

     1.984

     2.365

     2.626

     3.175

100

     1.290

     1.660

     1.984

     2.364

     2.626

     3.174

infinity

     1.282

     1.645

     1.960

     2.326

     2.576

     3.090

Chi-square distribution

The following tables provide the upper and lower percentage points of the chi-square distribution with df degrees of freedom. Both are required as the distribution is asymmetric.

df

0.100

0.050

0.025

0.010

0.001

1

       2.706

       3.841

       5.024

       6.635

     10.828

2

       4.605

       5.991

       7.378

       9.210

     13.816

3

       6.251

       7.815

       9.348

     11.345

     16.266

4

       7.779

       9.488

     11.143

     13.277

     18.467

5

       9.236

     11.070

     12.833

     15.086

     20.515

6

     10.645

     12.592

     14.449

     16.812

     22.458

7

     12.017

     14.067

     16.013

     18.475

     24.322

8

     13.362

     15.507

     17.535

     20.090

     26.125

9

     14.684

     16.919

     19.023

     21.666

     27.877

10

     15.987

     18.307

     20.483

     23.209

     29.588

11

     17.275

     19.675

     21.920

     24.725

     31.264

12

     18.549

     21.026

     23.337

     26.217

     32.910

13

     19.812

     22.362

     24.736

     27.688

     34.528

14

     21.064

     23.685

     26.119

     29.141

     36.123

15

     22.307

     24.996

     27.488

     30.578

     37.697

16

     23.542

     26.296

     28.845

     32.000

     39.252

17

     24.769

     27.587

     30.191

     33.409

     40.790

18

     25.989

     28.869

     31.526

     34.805

     42.312

19

     27.204

     30.144

     32.852

     36.191

     43.820

20

     28.412

     31.410

     34.170

     37.566

     45.315

21

     29.615

     32.671

     35.479

     38.932

     46.797

22

     30.813

     33.924

     36.781

     40.289

     48.268

23

     32.007

     35.172

     38.076

     41.638

     49.728

24

     33.196

     36.415

     39.364

     42.980

     51.179

25

     34.382

     37.652

     40.646

     44.314

     52.620

26

     35.563

     38.885

     41.923

     45.642

     54.052

27

     36.741

     40.113

     43.195

     46.963

     55.476

28

     37.916

     41.337

     44.461

     48.278

     56.892

29

     39.087

     42.557

     45.722

     49.588

     58.301

30

     40.256

     43.773

     46.979

     50.892

     59.703

31

     41.422

     44.985

     48.232

     52.191

     61.098

32

     42.585

     46.194

     49.480

     53.486

     62.487

33

     43.745

     47.400

     50.725

     54.776

     63.870

34

     44.903

     48.602

     51.966

     56.061

     65.247

35

     46.059

     49.802

     53.203

     57.342

     66.619

36

     47.212

     50.998

     54.437

     58.619

     67.985

37

     48.363

     52.192

     55.668

     59.893

     69.347

38

     49.513

     53.384

     56.896

     61.162

     70.703

39

     50.660

     54.572

     58.120

     62.428

     72.055

40

     51.805

     55.758

     59.342

     63.691

     73.402

41

     52.949

     56.942

     60.561

     64.950

     74.745

42

     54.090

     58.124

     61.777

     66.206

     76.084

43

     55.230

     59.304

     62.990

     67.459

     77.419

44

     56.369

     60.481

     64.201

     68.710

     78.750

45

     57.505

     61.656

     65.410

     69.957

     80.077

46

     58.641

     62.830

     66.617

     71.201

     81.400

47

     59.774

     64.001

     67.821

     72.443

     82.720

48

     60.907

     65.171

     69.023

     73.683

     84.037

49

     62.038

     66.339

     70.222

     74.919

     85.351

50

     63.167

     67.505

     71.420

     76.154

     86.661

51

     64.295

     68.669

     72.616

     77.386

     87.968

52

     65.422

     69.832

     73.810

     78.616

     89.272

53

     66.548

     70.993

     75.002

     79.843

     90.573

54

     67.673

     72.153

     76.192

     81.069

     91.872

55

     68.796

     73.311

     77.380

     82.292

     93.168

56

     69.919

     74.468

     78.567

     83.513

     94.461

57

     71.040

     75.624

     79.752

     84.733

     95.751

58

     72.160

     76.778

     80.936

     85.950

     97.039

59

     73.279

     77.931

     82.117

     87.166

     98.324

60

     74.397

     79.082

     83.298

     88.379

     99.607

61

     75.514

     80.232

     84.476

     89.591

    100.888

62

     76.630

     81.381

     85.654

     90.802

    102.166

63

     77.745

     82.529

     86.830

     92.010

    103.442

64

     78.860

     83.675

     88.004

     93.217

    104.716

65

     79.973

     84.821

     89.177

     94.422

    105.988

66

     81.085

     85.965

     90.349

     95.626

    107.258

67

     82.197

     87.108

     91.519

     96.828

    108.526

68

     83.308

     88.250

     92.689

     98.028

    109.791

69

     84.418

     89.391

     93.856

     99.228

    111.055

70

     85.527

     90.531

     95.023

    100.425

    112.317

71

     86.635

     91.670

     96.189

    101.621

    113.577

72

     87.743

     92.808

     97.353

    102.816

    114.835

73

     88.850

     93.945

     98.516

    104.010

    116.092

74

     89.956

     95.081

     99.678

    105.202

    117.346

75

     91.061

     96.217

    100.839

    106.393

    118.599

76

     92.166

     97.351

    101.999

    107.583

    119.850

77

     93.270

     98.484

    103.158

    108.771

    121.100

78

     94.374

     99.617

    104.316

    109.958

    122.348

79

     95.476

    100.749

    105.473

    111.144

    123.594

80

     96.578

    101.879

    106.629

    112.329

    124.839

81

     97.680

    103.010

    107.783

    113.512

    126.083

82

     98.780

    104.139

    108.937

    114.695

    127.324

83

     99.880

    105.267

    110.090

    115.876

    128.565

84

    100.980

    106.395

    111.242

    117.057

    129.804

85

    102.079

    107.522

    112.393

    118.236

    131.041

86

    103.177

    108.648

    113.544

    119.414

    132.277

87

    104.275

    109.773

    114.693

    120.591

    133.512

88

    105.372

    110.898

    115.841

    121.767

    134.746

89

    106.469

    112.022

    116.989

    122.942

    135.978

90

    107.565

    113.145

    118.136

    124.116

    137.208

91

    108.661

    114.268

    119.282

    125.289

    138.438

92

    109.756

    115.390

    120.427

    126.462

    139.666

93

    110.850

    116.511

    121.571

    127.633

    140.893

94

    111.944

    117.632

    122.715

    128.803

    142.119

95

    113.038

    118.752

    123.858

    129.973

    143.344

96

    114.131

    119.871

    125.000

    131.141

    144.567

97

    115.223

    120.990

    126.141

    132.309

    145.789

98

    116.315

    122.108

    127.282

    133.476

    147.010

99

    117.407

    123.225

    128.422

    134.642

    148.230

100

    118.498

    124.342

    129.561

    135.807

    149.449

 

df

0.9

0.95

0.975

0.99

0.999

1

    0.016

    0.004

    0.001

         -  

         -  

2

    0.211

    0.103

    0.051

    0.020

    0.002

3

    0.584

    0.352

    0.216

    0.115

    0.024

4

    1.064

    0.711

    0.484

    0.297

    0.091

5

    1.610

    1.145

    0.831

    0.554

    0.210

6

    2.204

    1.635

    1.237

    0.872

    0.381

7

    2.833

    2.167

    1.690

    1.239

    0.598

8

    3.490

    2.733

    2.180

    1.646

    0.857

9

    4.168

    3.325

    2.700

    2.088

    1.152

10

    4.865

    3.940

    3.247

    2.558

    1.479

11

    5.578

    4.575

    3.816

    3.053

    1.834

12

    6.304

    5.226

    4.404

    3.571

    2.214

13

    7.042

    5.892

    5.009

    4.107

    2.617

14

    7.790

    6.571

    5.629

    4.660

    3.041

15

    8.547

    7.261

    6.262

    5.229

    3.483

16

    9.312

    7.962

    6.908

    5.812

    3.942

17

   10.085

    8.672

    7.564

    6.408

    4.416

18

   10.865

    9.390

    8.231

    7.015

    4.905

19

   11.651

   10.117

    8.907

    7.633

    5.407

20

   12.443

   10.851

    9.591

    8.260

    5.921

21

   13.240

   11.591

   10.283

    8.897

    6.447

22

   14.041

   12.338

   10.982

    9.542

    6.983

23

   14.848

   13.091

   11.689

   10.196

    7.529

24

   15.659

   13.848

   12.401

   10.856

    8.085

25

   16.473

   14.611

   13.120

   11.524

    8.649

26

   17.292

   15.379

   13.844

   12.198

    9.222

27

   18.114

   16.151

   14.573

   12.879

    9.803

28

   18.939

   16.928

   15.308

   13.565

   10.391

29

   19.768

   17.708

   16.047

   14.256

   10.986

30

   20.599

   18.493

   16.791

   14.953

   11.588

31

   21.434

   19.281

   17.539

   15.655

   12.196

32

   22.271

   20.072

   18.291

   16.362

   12.811

33

   23.110

   20.867

   19.047

   17.074

   13.431

34

   23.952

   21.664

   19.806

   17.789

   14.057

35

   24.797

   22.465

   20.569

   18.509

   14.688

36

   25.643

   23.269

   21.336

   19.233

   15.324

37

   26.492

   24.075

   22.106

   19.960

   15.965

38

   27.343

   24.884

   22.878

   20.691

   16.611

39

   28.196

   25.695

   23.654

   21.426

   17.262

40

   29.051

   26.509

   24.433

   22.164

   17.916

41

   29.907

   27.326

   25.215

   22.906

   18.575

42

   30.765

   28.144

   25.999

   23.650

   19.239

43

   31.625

   28.965

   26.785

   24.398

   19.906

44

   32.487

   29.787

   27.575

   25.148

   20.576

45

   33.350

   30.612

   28.366

   25.901

   21.251

46

   34.215

   31.439

   29.160

   26.657

   21.929

47

   35.081

   32.268

   29.956

   27.416

   22.610

48

   35.949

   33.098

   30.755

   28.177

   23.295

49

   36.818

   33.930

   31.555

   28.941

   23.983

50

   37.689

   34.764

   32.357

   29.707

   24.674

51

   38.560

   35.600

   33.162

   30.475

   25.368

52

   39.433

   36.437

   33.968

   31.246

   26.065

53

   40.308

   37.276

   34.776

   32.018

   26.765

54

   41.183

   38.116

   35.586

   32.793

   27.468

55

   42.060

   38.958

   36.398

   33.570

   28.173

56

   42.937

   39.801

   37.212

   34.350

   28.881

57

   43.816

   40.646

   38.027

   35.131

   29.592

58

   44.696

   41.492

   38.844

   35.913

   30.305

59

   45.577

   42.339

   39.662

   36.698

   31.020

60

   46.459

   43.188

   40.482

   37.485

   31.738

61

   47.342

   44.038

   41.303

   38.273

   32.459

62

   48.226

   44.889

   42.126

   39.063

   33.181

63

   49.111

   45.741

   42.950

   39.855

   33.906

64

   49.996

   46.595

   43.776

   40.649

   34.633

65

   50.883

   47.450

   44.603

   41.444

   35.362

66

   51.770

   48.305

   45.431

   42.240

   36.093

67

   52.659

   49.162

   46.261

   43.038

   36.826

68

   53.548

   50.020

   47.092

   43.838

   37.561

69

   54.438

   50.879

   47.924

   44.639

   38.298

70

   55.329

   51.739

   48.758

   45.442

   39.036

71

   56.221

   52.600

   49.592

   46.246

   39.777

72

   57.113

   53.462

   50.428

   47.051

   40.519

73

   58.006

   54.325

   51.265

   47.858

   41.264

74

   58.900

   55.189

   52.103

   48.666

   42.010

75

   59.795

   56.054

   52.942

   49.475

   42.757

76

   60.690

   56.920

   53.782

   50.286

   43.507

77

   61.586

   57.786

   54.623

   51.097

   44.258

78

   62.483

   58.654

   55.466

   51.910

   45.010

79

   63.380

   59.522

   56.309

   52.725

   45.764

80

   64.278

   60.391

   57.153

   53.540

   46.520

81

   65.176

   61.261

   57.998

   54.357

   47.277

82

   66.076

   62.132

   58.845

   55.174

   48.036

83

   66.976

   63.004

   59.692

   55.993

   48.796

84

   67.876

   63.876

   60.540

   56.813

   49.557

85

   68.777

   64.749

   61.389

   57.634

   50.320

86

   69.679

   65.623

   62.239

   58.456

   51.085

87

   70.581

   66.498

   63.089

   59.279

   51.850

88

   71.484

   67.373

   63.941

   60.103

   52.617

89

   72.387

   68.249

   64.793

   60.928

   53.386

90

   73.291

   69.126

   65.647

   61.754

   54.155

91

   74.196

   70.003

   66.501

   62.581

   54.926

92

   75.100

   70.882

   67.356

   63.409

   55.698

93

   76.006

   71.760

   68.211

   64.238

   56.472

94

   76.912

   72.640

   69.068

   65.068

   57.246

95

   77.818

   73.520

   69.925

   65.898

   58.022

96

   78.725

   74.401

   70.783

   66.730

   58.799

97

   79.633

   75.282

   71.642

   67.562

   59.577

98

   80.541

   76.164

   72.501

   68.396

   60.356

99

   81.449

   77.046

   73.361

   69.230

   61.137

100

   82.358

   77.929

   74.222

   70.065

   61.918

F distribution

Upper critical values of the F distribution, 5% level. In the following table df1 (the row entries) provides the degrees of freedom for the numerator and df2 (the column entries) provides the degrees of freedom for the denominator in the F ratio.

df1, df2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

  161.448

 199.500

 215.707

 224.583

 230.162

 233.986

 236.768

 238.883

 240.543

 241.882

2

    18.513

   19.000

   19.164

   19.247

   19.296

   19.330

   19.353

   19.371

   19.385

   19.396

3

    10.128

     9.552

     9.277

     9.117

     9.013

     8.941

     8.887

     8.845

     8.812

     8.786

4

     7.709

     6.944

     6.591

     6.388

     6.256

     6.163

     6.094

     6.041

     5.999

     5.964

5

     6.608

     5.786

     5.409

     5.192

     5.050

     4.950

     4.876

     4.818

     4.772

     4.735

6

     5.987

     5.143

     4.757

     4.534

     4.387

     4.284

     4.207

     4.147

     4.099

     4.060

7

     5.591

     4.737

     4.347

     4.120

     3.972

     3.866

     3.787

     3.726

     3.677

     3.637

8

     5.318

     4.459

     4.066

     3.838

     3.687

     3.581

     3.500

     3.438

     3.388

     3.347

9

     5.117

     4.256

     3.863

     3.633

     3.482

     3.374

     3.293

     3.230

     3.179

     3.137

10

     4.965

     4.103

     3.708

     3.478

     3.326

     3.217

     3.135

     3.072

     3.020

     2.978

11

     4.844

     3.982

     3.587

     3.357

     3.204

     3.095

     3.012

     2.948

     2.896

     2.854

12

     4.747

     3.885

     3.490

     3.259

     3.106

     2.996

     2.913

     2.849

     2.796

     2.753

13

     4.667

     3.806

     3.411

     3.179

     3.025

     2.915

     2.832

     2.767

     2.714

     2.671

14

     4.600

     3.739

     3.344

     3.112

     2.958

     2.848

     2.764

     2.699

     2.646

     2.602

15

     4.543

     3.682

     3.287

     3.056

     2.901

     2.790

     2.707

     2.641

     2.588

     2.544

16

     4.494

     3.634

     3.239

     3.007

     2.852

     2.741

     2.657

     2.591

     2.538

     2.494

17

     4.451

     3.592

     3.197

     2.965

     2.810

     2.699

     2.614

     2.548

     2.494

     2.450

18

     4.414

     3.555

     3.160

     2.928

     2.773

     2.661

     2.577

     2.510

     2.456

     2.412

19

     4.381

     3.522

     3.127

     2.895

     2.740

     2.628

     2.544

     2.477

     2.423

     2.378

20

     4.351

     3.493

     3.098

     2.866

     2.711

     2.599

     2.514

     2.447

     2.393

     2.348

21

     4.325

     3.467

     3.072

     2.840

     2.685

     2.573

     2.488

     2.420

     2.366

     2.321

22

     4.301

     3.443

     3.049

     2.817

     2.661

     2.549

     2.464

     2.397

     2.342

     2.297

23

     4.279

     3.422

     3.028

     2.796

     2.640

     2.528

     2.442

     2.375

     2.320

     2.275

24

     4.260

     3.403

     3.009

     2.776

     2.621

     2.508

     2.423

     2.355

     2.300

     2.255

25

     4.242

     3.385

     2.991

     2.759

     2.603

     2.490

     2.405

     2.337

     2.282

     2.236

26

     4.225

     3.369

     2.975

     2.743

     2.587

     2.474

     2.388

     2.321

     2.265

     2.220

27

     4.210

     3.354

     2.960

     2.728

     2.572

     2.459

     2.373

     2.305

     2.250

     2.204

28

     4.196

     3.340

     2.947

     2.714

     2.558

     2.445

     2.359

     2.291

     2.236

     2.190

29

     4.183

     3.328

     2.934

     2.701

     2.545

     2.432

     2.346

     2.278

     2.223

     2.177

30

     4.171

     3.316

     2.922

     2.690

     2.534

     2.421

     2.334

     2.266

     2.211

     2.165

31

     4.160

     3.305

     2.911

     2.679

     2.523

     2.409

     2.323

     2.255

     2.199

     2.153

32

     4.149

     3.295

     2.901

     2.668

     2.512

     2.399

     2.313

     2.244

     2.189

     2.142

33

     4.139

     3.285

     2.892

     2.659

     2.503

     2.389

     2.303

     2.235

     2.179

     2.133

34

     4.130

     3.276

     2.883

     2.650

     2.494

     2.380

     2.294

     2.225

     2.170

     2.123

35

     4.121

     3.267

     2.874

     2.641

     2.485

     2.372

     2.285

     2.217

     2.161

     2.114

36

     4.113

     3.259

     2.866

     2.634

     2.477

     2.364

     2.277

     2.209

     2.153

     2.106

37

     4.105

     3.252

     2.859

     2.626

     2.470

     2.356

     2.270

     2.201

     2.145

     2.098

38

     4.098

     3.245

     2.852

     2.619

     2.463

     2.349

     2.262

     2.194

     2.138

     2.091

39

     4.091

     3.238

     2.845

     2.612

     2.456

     2.342

     2.255

     2.187

     2.131

     2.084

40

     4.085

     3.232

     2.839

     2.606

     2.449

     2.336

     2.249

     2.180

     2.124

     2.077

41

     4.079

     3.226

     2.833

     2.600

     2.443

     2.330

     2.243

     2.174

     2.118

     2.071

42

     4.073

     3.220

     2.827

     2.594

     2.438

     2.324

     2.237

     2.168

     2.112

     2.065

43

     4.067

     3.214

     2.822

     2.589

     2.432

     2.318

     2.232

     2.163

     2.106

     2.059

44

     4.062

     3.209

     2.816

     2.584

     2.427

     2.313

     2.226

     2.157

     2.101

     2.054

45

     4.057

     3.204

     2.812

     2.579

     2.422

     2.308

     2.221

     2.152

     2.096

     2.049

46

     4.052

     3.200

     2.807

     2.574

     2.417

     2.304

     2.216

     2.147

     2.091

     2.044

47

     4.047

     3.195

     2.802

     2.570

     2.413

     2.299

     2.212

     2.143

     2.086

     2.039

48

     4.043

     3.191

     2.798

     2.565

     2.409

     2.295

     2.207

     2.138

     2.082

     2.035

49

     4.038

     3.187

     2.794

     2.561

     2.404

     2.290

     2.203

     2.134

     2.077

     2.030

50

     4.034

     3.183

     2.790

     2.557

     2.400

     2.286

     2.199

     2.130

     2.073

     2.026

 

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

1

  242.983

 243.906

 244.690

 245.364

 245.950

 246.464

 246.918

 247.323

 247.686

 248.013

2

    19.405

   19.413

   19.419

   19.424

   19.429

   19.433

   19.437

   19.440

   19.443

   19.446

3

     8.763

     8.745

     8.729

     8.715

     8.703

     8.692

     8.683

     8.675

     8.667

     8.660

4

     5.936

     5.912

     5.891

     5.873

     5.858

     5.844

     5.832

     5.821

     5.811

     5.803

5

     4.704

     4.678

     4.655

     4.636

     4.619

     4.604

     4.590

     4.579

     4.568

     4.558

6

     4.027

     4.000

     3.976

     3.956

     3.938

     3.922

     3.908

     3.896

     3.884

     3.874

7

     3.603

     3.575

     3.550

     3.529

     3.511

     3.494

     3.480

     3.467

     3.455

     3.445

8

     3.313

     3.284

     3.259

     3.237

     3.218

     3.202

     3.187

     3.173

     3.161

     3.150

9

     3.102

     3.073

     3.048

     3.025

     3.006

     2.989

     2.974

     2.960

     2.948

     2.936

10

     2.943

     2.913

     2.887

     2.865

     2.845

     2.828

     2.812

     2.798

     2.785

     2.774

11

     2.818

     2.788

     2.761

     2.739

     2.719

     2.701

     2.685

     2.671

     2.658

     2.646

12

     2.717

     2.687

     2.660

     2.637

     2.617

     2.599

     2.583

     2.568

     2.555

     2.544

13

     2.635

     2.604

     2.577

     2.554

     2.533

     2.515

     2.499

     2.484

     2.471

     2.459

14

     2.565

     2.534

     2.507

     2.484

     2.463

     2.445

     2.428

     2.413

     2.400

     2.388

15

     2.507

     2.475

     2.448

     2.424

     2.403

     2.385

     2.368

     2.353

     2.340

     2.328

16

     2.456

     2.425

     2.397

     2.373

     2.352

     2.333

     2.317

     2.302

     2.288

     2.276

17

     2.413

     2.381

     2.353

     2.329

     2.308

     2.289

     2.272

     2.257

     2.243

     2.230

18

     2.374

     2.342

     2.314

     2.290

     2.269

     2.250

     2.233

     2.217

     2.203

     2.191

19

     2.340

     2.308

     2.280

     2.256

     2.234

     2.215

     2.198

     2.182

     2.168

     2.155

20

     2.310

     2.278

     2.250

     2.225

     2.203

     2.184

     2.167

     2.151

     2.137

     2.124

21

     2.283

     2.250

     2.222

     2.197

     2.176

     2.156

     2.139

     2.123

     2.109

     2.096

22

     2.259

     2.226

     2.198

     2.173

     2.151

     2.131

     2.114

     2.098

     2.084

     2.071

23

     2.236

     2.204

     2.175

     2.150

     2.128

     2.109

     2.091

     2.075

     2.061

     2.048

24

     2.216

     2.183

     2.155

     2.130

     2.108

     2.088

     2.070

     2.054

     2.040

     2.027

25

     2.198

     2.165

     2.136

     2.111

     2.089

     2.069

     2.051

     2.035

     2.021

     2.007

26

     2.181

     2.148

     2.119

     2.094

     2.072

     2.052

     2.034

     2.018

     2.003

     1.990

27

     2.166

     2.132

     2.103

     2.078

     2.056

     2.036

     2.018

     2.002

     1.987

     1.974

28

     2.151

     2.118

     2.089

     2.064

     2.041

     2.021

     2.003

     1.987

     1.972

     1.959

29

     2.138

     2.104

     2.075

     2.050

     2.027

     2.007

     1.989

     1.973

     1.958

     1.945

30

     2.126

     2.092

     2.063

     2.037

     2.015

     1.995

     1.976

     1.960

     1.945

     1.932

31

     2.114

     2.080

     2.051

     2.026

     2.003

     1.983

     1.965

     1.948

     1.933

     1.920

32

     2.103

     2.070

     2.040

     2.015

     1.992

     1.972

     1.953

     1.937

     1.922

     1.908

33

     2.093

     2.060

     2.030

     2.004

     1.982

     1.961

     1.943

     1.926

     1.911

     1.898

34

     2.084

     2.050

     2.021

     1.995

     1.972

     1.952

     1.933

     1.917

     1.902

     1.888

35

     2.075

     2.041

     2.012

     1.986

     1.963

     1.942

     1.924

     1.907

     1.892

     1.878

36

     2.067

     2.033

     2.003

     1.977

     1.954

     1.934

     1.915

     1.899

     1.883

     1.870

37

     2.059

     2.025

     1.995

     1.969

     1.946

     1.926

     1.907

     1.890

     1.875

     1.861

38

     2.051

     2.017

     1.988

     1.962

     1.939

     1.918

     1.899

     1.883

     1.867

     1.853

39

     2.044

     2.010

     1.981

     1.954

     1.931

     1.911

     1.892

     1.875

     1.860

     1.846

40

     2.038

     2.003

     1.974

     1.948

     1.924

     1.904

     1.885

     1.868

     1.853

     1.839

41

     2.031

     1.997

     1.967

     1.941

     1.918

     1.897

     1.879

     1.862

     1.846

     1.832

42

     2.025

     1.991

     1.961

     1.935

     1.912

     1.891

     1.872

     1.855

     1.840

     1.826

43

     2.020

     1.985

     1.955

     1.929

     1.906

     1.885

     1.866

     1.849

     1.834

     1.820

44

     2.014

     1.980

     1.950

     1.924

     1.900

     1.879

     1.861

     1.844

     1.828

     1.814

45

     2.009

     1.974

     1.945

     1.918

     1.895

     1.874

     1.855

     1.838

     1.823

     1.808

46

     2.004

     1.969

     1.940

     1.913

     1.890

     1.869

     1.850

     1.833

     1.817

     1.803

47

     1.999

     1.965

     1.935

     1.908

     1.885

     1.864

     1.845

     1.828

     1.812

     1.798

48

     1.995

     1.960

     1.930

     1.904

     1.880

     1.859

     1.840

     1.823

     1.807

     1.793

49

     1.990

     1.956

     1.926

     1.899

     1.876

     1.855

     1.836

     1.819

     1.803

     1.789

50

     1.986

     1.952

     1.921

     1.895

     1.871

     1.850

     1.831

     1.814

     1.798

     1.784